说明

  1. ||用{}代替

  2. A的伴随矩阵用A *表示

  3. A的逆矩阵用A^(-1)表示

  4. AT表示A的转置

温馨提醒：时间有限，如有遗漏或不完善的地方还请见谅

基础知识

第一章

第一节

  1. 逆序数
  2. 上/下三角形行列式值为主对角各元素相乘。负上/下三角形行列式值为(-1)^t*负对角各元素(t是n(n-1)…21的逆序数)

第二节（重要）

  1. 行列式的性质，课本仔细看
  2. 代数余子式
  3. 范德蒙德行列式

第三节

  1. 克拉默法则（求多元线性方程组）

    x1=D1/D x2=D2/D …… xn=Dn/D

  2. 关于线性方程组解与行列式之间的关系

第二章

第二节（重要）

  1. 矩阵的基本运算（注意矩阵的乘法）
  2. 对称矩阵

第三节

  1. 逆矩阵及性质
  2. 伴随矩阵

第四节

  1. 分块矩阵（适用于矩阵的基本运算）

第三章

第一节

  1. 矩阵的初等变换（重要）

    行阶梯形，行最简形，标准形矩阵

第二节

  1. 矩阵的秩

第三节

  1. 高斯消元法
  2. 线性方程组解的判定

第四章

第一节

  1. 线性表示

第二节

  1. 线性相关

第三节

  1. 等价（互相线性表示）

第五章

第一节

  1. 向量空间的基，维数和坐标

第二节

  1. 向量内积
  2. 正交化（施密特）

第三节

  1. 基础解系（一个极大无关组）
  2. 解空间

第六章

第一节

  1. 方阵的特征值和特征向量（A-λE）X=0

    AX=λE

  2. 性质（不同的特征值对应的特征向量线性无关）

第二节

  1. 相似矩阵 P^(-1)AP=B
  2. 对角化（n阶方阵有n个线性无关的特征向量） A=Pdiag(λ1,λ2,…,λn)P^(-1)

第三节

  1. 实对称矩阵属于不同对称值的特征向量一定正交，有几个特征值就有几个线性无关的特征向量
  2. 正交矩阵的性质
  3. 实对称矩阵必可经过正交变换实现对角化，即P^(-1)AP=diag(λ1,λ2,…,λn)，P为正交矩阵

重要结论

第一章

第一节

  1. x1,x2,x3…xn的逆序数为k。则反过来的逆序数为(n(n-1)/2-k)

第二节

  1. 反对称行列式aij=-aij，Dn=DnT=(-1)^n*Dn

第二章

第二节

  1. {λA}=λ^n{A}
  2. AB!=BA
  3. {AB}={BA}
  4. (AB)^k!=A^k*B^k
  5. {AT}={A}
  6. {AB}={A}{B}
  7. (AB)T=BTAT
  8. {A^k}={A}^k

第三节

  1. AA =AA={A}E
  2. AA^(-1)=E
  3. {A}{A *}={A}^n
  4. A *={A}A^(-1)
  5. (A *)^(-1)=A/{A}

第三章

第一节

  1. 左行右列
  2. AX=B => X=A^(-1)B => (A|B)->(E|X)

第三节

  1. R(A *)与R(A)之间的关系
  2. min{R(A),R(B)}>=R(AB)>=R(A)+R(B)-n
  3. R(A)+R(B)>=R(A+B)
  4. R(A)>=R(AAT)
  5. R(A)+1>=R(A|b)>=R(A)
  6. R(A)+R(B)>=R(A|B)>=max{R(A),R(B)}
  7. R(A)+R(B)>=R(A|B)>=R(A+B)

第四章

第二节

  1. 判断向量组线性相关/无关

    （1）x1α1+x2α2+…+xmαm=0有无非零解

    （2）R(A)=R(α1,α2,…,αm)<m有关，=m无关

    （3）向量组含向量的个数与维数相等时，{α1,α2,…,αm}=0相关

  2. R(A)=R(α1,α2,…,αm)<=n<m(m个n维向量)

第五章

第一节

第二节

  1. <α,β>=αTβ=βTα

第六章

第一节

  1. （1）λ1+λ2+…+λm=主对角各元素相加

    （2）λ1λ2…λm=行列式值

第二节

  1. A=Pdiag(λ1,λ2,…,λn)P^(-1) => 可求A的多次方

第三节

  1. 对于正交阵A，ATA=E
  2. 实对称矩阵的对角化，P^(-1)AP=diag(λ1,λ2,…,λn)，P为正交矩阵

例题

已知基础解系，求方程组